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猥琐题,必有猥琐解法

• May 10, 2019 • 默认分类

经过多天挣扎发现一个圆锥曲线规律,可以极度减少运算量,与硬解定律不同的是,它更灵活,如下:

联立方程

$$ \begin{equation} \begin{split} &\begin{cases}\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\\y=kx+m\end{cases} \\ \\ &\left(a^{2}k^{2}+b^{2}\right)x^{2}+2kma^{2}x+a^{2}(m^{2}-b^{2})=0 \\ &\left(a^{2}k^{2}+b^{2}\right)y^{2}+2mb^{2}y+b^{2}(m^{2}-a^{2}k^{2})=0 \end{split} \end{equation} $$

结合韦达定理

$$ \mid y_{1}-y_{2}\mid=\frac{2ab\mid k\mid \sqrt{A-m^{2}}}{a^{2}k^{2}+b^{2}} \\ \mid x_{1}-x_{2}\mid=\frac{2ab \sqrt{A-m^{2}}}{a^{2}k^{2}+b^{2}}\\ x_{1}\cdot x_{2}=\frac{-2kma^{2}}{a^{2}k^{2}+b^{2}}\\ \qquad \\x_{1}+ x_{2}=\frac{a^{2}(m^{2}-b^{2})}{a^{2}k^{2}+b^{2}} \\ y_{1}\cdot y_{2}=\frac{2mb^{2}}{a^{2}k^{2}+b^{2}} \qquad \\y_{1}+ y_{2}=\frac{a^{2}(m^{2}-a^{2}k^{2})}{a^{2}k^{2}+b^{2}} $$

有许多相同部分

$$ \begin{equation} \begin{split} A&=a^{2}k^{2}+b^{2} \\ \triangle&=4a^{2}a^{2}(A-m^{2}) \end{split} \end{equation} $$

你发现没有

对于多么变态的题,我们恒有以下结论

设A,B为直线与曲线的交点,则:

$$ \mid AB\mid=\sqrt{1+k^{2}}\frac{\sqrt{\triangle}}{A} $$

结合韦达定理,

$$ \begin{equation} \begin{split} &\frac{y_{1}\cdot y_{2}}{x_{1}\cdot x_{2}}=???\\ \\ &x_{1}\cdot x_{2}+y_{1}\cdot y_{2}=??? \end{split} \end{equation} $$

也很容易算出来了

写在最后最后

  1. 还是应该多计算
  2. 如果遇到椭圆,用负b平方代替b平方即可

这个方法可以快速秒杀选择题、填空题,当然大题假装写格式然后带值也可以!

最后编辑于: May 14, 2019